U.
Toda interpretación lleva asociada en lógica de proposiciones una función pragmática que asigna a cada variable proposicional el valor «verdadero» o el valor «falso» , valores que representaremos por «1» y «0» , respectivamente. La llamaremos función de evaluación:
{0, 1}
El subíndice I indica que la función es relativa a la interpretación. Como veremos enseguida, establecida una interpretación y una función de evaluación para las variables proposicionales se puede extender el dominio de esta función de evaluación al conjunto (infinito) de todas las sentencias.
Se dice que una interpretación I satisface a una sentencia 
si (y sólo si)
V I() = 1. Alternativamente, se puede decir que la sentencia se satisface para I, o,
en lenguaje más coloquial, que es verdadera con esa interpretación. La notación para
expresarlo simbólicamente es: 
I.
Para extender el dominio de una función de evaluación de variables proposicionales a sentencias, como toda sentencia resulta de aplicar las reglas de la gramática, basta con definir una regla semántica para cada una de las reglas gramaticales (sintácticas):
Ip si y sólo si V I(p) = 1
I(¬) si y sólo si no es el caso que 
I
I( 
) si y sólo si o bien 
I o bien 
I o ambos
I( 
) si y sólo si 
I y 
I
I( 
) si y sólo si no es el caso que (
I y no 
I)
I( 
) si y sólo si 
I( ) y 
I( )
Estas reglas se pueden expresar de manera más gráfica en forma de una tabla de verdad en la que se contemplan, para cada una de las cuatro evaluaciones diferentes posibles de una pareja de sentencias, las evaluaciones de cada una de las combinaciones sintácticas de esas sentencias:
| | ¬ | | | | |
|||||||
| I0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||||||
| I1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||
| I2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| I3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
donde «I0»
quiere decir «la clase de interpretaciones para las cuales V I() = V I() = 0»
, etc. (Las interpretaciones posibles son infinitas, pero sólo hay cuatro evaluaciones
distintas de dos sentencias).
Obsérvese que la satisfacción de una sentencia para una determinada interpretación depende, en última instancia, de la evaluación de las variables proposicionales que la forman. En el ejemplo del Apartado 3.2.1 habíamos convenido la interpretación:
I(ord) = «libro sobre ordenadores»
I(tab) = «tremendamente aburrido»
La sentencia:
ord tab
se satisface o no, con esa interpretación, dependiendo de la evaluación de las variables proposicionales, V Iord) y V Itab). Como decíamos al principio, toda interpretación lleva asociada una función pragmática de evaluación. En este caso, para la misma interpretación hay cuatro funciones posibles de evaluación. En lo sucesivo, para no repetir constantemente «la sentencia se satisface para esta interpretación y esta función de evaluación» , hablaremos simplemente de «interpretación» . Es decir, para dos variables proposicionales diremos que hay «cuatro interpretaciones» distintas (en realidad, cuatro clases en las que pueden clasificarse todas las intepretaciones posibles y sus funciones de evaluación asociadas).
La semántica de la negación, la disyunción (que es inclusiva) y la conjunción no necesitan explicación: el lector conoce las operaciones correspondientes del álgebra de Boole. Tampoco el bicondicional, que es una conjunción de dos condicionales. Sin embargo, es preciso detenerse en la semántica del condicional.
DIT-ETSIT-UPM