P: (
x)(
(x))
C: (A)
que requiere un comentario especial. En efecto, hay que advertir que la regla no puede justificarse lógicamente, porque:
/
((x)((x)) 
(A)).
Es decir, se apoya en una sentencia que no es válida, un teorema falso.
El razonamiento implícito en la regla únicamente puede justificarse considerando que la constante «A» que sustituye a la variable cuantificada «x» no es como las demás constantes de la conceptuación: no es un valor concreto de entre los que puede tomar x, sino un valor arbitrario. En realidad, es una variable «disfrazada» que se llama constante de Skolem. Por ejemplo, «existe un individuo que es el autor de este libro» se puede formalizar como:
(x)(autor(x, E))
y la regla dice que se puede obtener la conclusión
autor(Ind, E)
donde «Ind» es una constante arbitraria que no puede coincidir con ninguna de las utilizadas en la conceptuación. Intuitivamente, el razonamiento es así: «la sentencia dice que existe un individuo (al menos) que cumple ciertas condiciones; inventemos un nombre para este individuo y sigamos adelante» .
Ahora bien, si la sentencia abarcada por el cuantificador existencial que se elimina está dentro del alcance de un cuantificador universal entonces no podemos sustituir la variable por una constante de Skolem. Para ver por qué es así, consideremos este ejemplo: «todos los libros tienen al menos un autor» , o «para todo x, si x es un libro, entonces existe un y tal que y es el autor de x» , o:
(
x)(libro(x) (y)(autor(y,x)))
Si sustituimos y por una constante de Skolem, Ind, obtenemos:
(x)(libro(x) autor(Ind, x))
que dice «para todo x, si x es un libro entonces el individuo representado por Ind es su autor» , es decir, «el individuo representado por Ind es el autor de todos los libros» , que, obviamente, no es lo que pretende expresar la primera sentencia. Lo que ocurre es que el valor de la variable y (el autor) depende del que tome x (el libro), y, por tanto, en lugar de sustituirla por una constante debe sustituirse por una función de Skolem:
(x)(libro(x) autor(ind(x), x))
(«todo libro, x, tiene un autor, el representado por ind(x)» ).
En general, la regla de particularización de un existencial es:
P: (x)((x,y1,y2,...,yn))
C: (f(y1,y2,...,yn),y1,y2,...,yn))
donde f es un símbolo de función diferente de los de todas las funciones que aparezcan en la conceptuación.
Hemos dado una justificación intuitiva de esta regla, pero el hecho es que la inferencia que se hace con ella es incorrecta, puesto que transforma una sentencia en otra que no es equivalente a ella. En el Apartado 4.8.3 veremos que, a pesar de esto, su uso en sistemas deductivos está teóricamente justificado.
DIT-ETSIT-UPM