4.3.1. Interpretación y asignación

• Si C es un símbolo de constante, entonces I(C) U (es decir, las constantes representan individuos del universo del discurso).
• Si p es un símbolo de predicado de grado n, entonces I(p) Uⁿ (es decir, los símbolos de predicado representan relaciones de la conceptuación).
• Si f es un símbolo de función de grado n, entonces I(f) = Uⁿ U (es decir, los símbolos de función representan funciones de la conceptuación).

El formalismo matemático puede ofuscar al lector, cuando en realidad el concepto de interpretación es simple. Se trata simplemente de formalizar la noción de que los símbolos representan las abstracciones de la realidad modelada en la conceptuación. Como ejemplo, volvamos al «mundo de los bloques» . En el Apartado 4.2.1 habíamos elegido ciertos símbolos, A, B... para representar a la conceptuación, es decir, habíamos definido una interpretación. Para la situación reflejada en la Figura 1.6, el resultado de esta interpretación es:

• I(A) = a, I(B) = b, I(C) = c, I(D) = d, I(E) = e
• I(encima-de) = Encima-de = {(b,a), (c,b), (e,d)}
• I(libre) = Libre = {a,d}
• I(base) = Base = {c,e}
• I(sobre) = Sobre = {(a,b), (b,c), (d,e)}
• I(más-arriba-que) = Más-arriba-que = {(a,b), (b,c), (a,c), (d,e)}

Bajo esta interpretación habíamos escrito estos axiomas del dominio (conocimiento normativo, Apartado 1.3.2):

• (x)(y)((y = encima-de(x)) sobre(y,x))
• (x)(y)(libre(x) ¬(y)(sobre(y,x)))
• (x)(y)(más-arriba-que(x,y) (sobre(x,y) (z)(sobre(x,z) más-arriba-que(z,y))))

Y la situación de la Figura 1.6 (conocimiento factual) puede representarse con las sentencias sobre(a,b), etc.

Ahora bien, esa es la interpretación pretendida, o «natural» . Nada (salvo el sentido común) nos impide hacer esta otra interpretación del símbolo «sobre» :

I(sobre) = {(b,a), (c,b), (e,d)}

Este símbolo estaría ahora representando a la relación Bajo de la conceptuación. Y bajo esta interpretación no podríamos considerar válidos los anteriores axiomas del dominio.

Otro ejemplo, en el que el universo del discurso son personas:

U={Agustín, Ana, Andrés, Angel, Baltasar, Bartolomé, Belén, Carmen, Diego. . . }

R={Jefe, Superior}, relaciones de grado 2 definidas por:

Jefe={(Agustín, Ana), (Agustín, Baltasar), (Ana, Andrés), (Ana, Bartolomé),
(Ana, Carmen), (Baltasar, Diego), (Bartolomé, Angel), (Bartolomé, Belén)}

(Es decir, Agustín es jefe de Ana, etc.).

Superior=Jefe{(Agustín, Andrés), (Agustín, Bartolomé), (Agustín, Carmen),
(Agustín, Angel), (Agustín, Belén), (Ana, Angel), (Ana, Belén),
(Agustín, Diego)}

(Es decir, todas las parejas que están en la relación «Jefe» están también en la relación «Superior» , y, además, Agustín es superior de Andrés, etc.).

Creando los símbolos A₁, A₂... para las constantes y jefe y superior para los predicados, con la interpretación pretendida:

I(A₁)=Agustín; I(A₂)=Ana; I(A₃)=Andrés; I(A₄)=Angel;
I(B₁)=Baltasar; I(B₂)=Bartolomé; I(B₃)=Belén;
I(C₁)=Carmen; I(D₁)=Diego

I(jefe) = Jefe
I(superior) = Superior

podemos representar el conocimiento factual con las sentencias: jefe(A₁,B₁), etc, y un conocimiento normativo con una sentencia que define la relación «Superior» en función de «Jefe» :

(x)(y)(superior(x,y) (jefe(x,y) (z)(jefe(x,z) superior(z,y))))

(definición recursiva similar a la de Más-arriba-que del mundo de los bloques).

Sin embargo, con una interpretación I' igual a I para las constantes pero tal que:

I'(jefe)={(Ana, Agustín), (Baltasar, Agustín), (Andrés, Ana), (Bartolomé, Ana),
(Carmen, Ana), (Diego, Baltasar), (Angel, Bartolomé), (Belén, Bartolomé)}

estaríamos interpretando (supuesto que la realidad no ha cambiado, o sea, que la relación «Jefe» es la misma) que el símbolo «jefe» significa en realidad «Subordinado» (y la sentencia que define «superior» no podría ser considerada una axioma del dominio).

En este ejemplo hemos definido la relación «Superior» de dos maneras: extensionalmente e intensionalmente (y, como es fácil comprobar, con la interpretación pretendida ambas coinciden). Pero lo normal será tener algunas relaciones básicas, dadas por su extensión (que representa una situación particular) y otras definidas intensionalmente. A partir de las primeras, un sistema deductivo debe ser capaz de obtener las extensiones de las relaciones definidas intensionalmente.

Asignación de términos

Una asignación de variables, A, es una función que hace corresponder elementos de U a las variables que figuran en las sentencias. Las constantes corresponden a los elementos de U según define la interpretación, y las funciones se aplican también en elementos de U, según su interpretación. En general, dada una interpretación I y una asignación de variables A, podemos extender A a una asignación de términos:

• Si c es un símbolo de constante, A(c) = I(c);
• Si f es un símbolo de función, A(f(t₁,t₂,...,t_n)) = F(x₁,x₂,...x_n),
  donde F = I(f) y x_i = A(t_i)

Por ejemplo, en el mundo de los bloques, si asignamos a la variable x el bloque b, la asignación de la función encima-de(x) será:

A(encima-de(x)) = Encima-de(A(x)) = Encima-de(A(b)) = a

En el ejemplo de los jefes y superiores, supongamos que a la conceptuación anterior añadimos la función de grado 1 «FJefe» , que aplicada a Ana da como resultado Agustín, aplicada a Baltasar da como resultado Agustín, etc. («FJefe» contiene la misma información que la relación «Jefe» pero expresada como función). Representemos esta función con el símbolo «fjefe» , es decir, I(fjefe)=FJefe y consideremos el término t = fjefe(fjefe(x)). Dada, por ejemplo, la asignación de variables x=Andrés, resulta:

A(t) = A(fjefe(fjefe(x))) = FJefe(A(fjefe(x))) = FJefe(FJefe(A(x)) =
FJefe(FJefe(Andrés)) = Agustín

Un átomo que tiene todos sus términos asignados se llama átomo terminal (ground atom).

 DIT-ETSIT-UPM