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4.3.4. Modelos

Igual que en lógica de proposiciones (Apartado 3.3.4), es pertinente preguntarse en este momento: ¿qué significa una sentencia? Y lo mismo que allí, veremos la respuesta de la semántica basada en modelos o «estilo Tarski» . La definición de «modelo» debe tener en cuenta ahora la presencia de variables:

Una interpretación I es un modelo de una sentencia f si f se satisface con esa I para todas las asignaciones posibles de sus variables; se escribe «|=If» . Una interpretación es un modelo de un conjunto de sentencias si es un modelo de todas y cada una de ellas.

Ya hemos visto más arriba (Apartado 4.3.2) que la interpretación «natural» en la conceptuación de los «jefes» y «superiores» es un modelo de la sentencia

( A x)( A y)(jefe(x,y) ==>superior(x,y))

y también podríamos ver que es un modelo de la sentencia

( A x)( A y)( A z)(jefe(x,z) /\ superior(z,y) ==>superior(x,y))

Otro ejemplo: consideremos una conceptuación con tres individuos, IndA, IndB, IndC y tres propiedades aplicables a estos individuos: ser político, ser mentiroso e ir al infierno. Formalizaremos los individuos con los símbolos «A» , «B» y «C» , de manera que, en las interpretaciones que podamos hacer, siempre será I(A) = IndA, I(B) = IndB, I(C) = IndC. Representaremos las propiedades con los símbolos de predicado (de grado 1) «pol» , «men» e «inf » . Sean las sentencias:

f: ( A x)(pol(x) ==>men(x))

y: ( A x)(men(x) ==>inf (x))

(«todos los políticos son mentirosos» y «todos los mentirosos van al infierno» ).

La interpretación I1 tal que:

I1(pol) = {IndA}

I1(men) = {IndA}

I1(inf ) = {IndA}

(«sólo el individuo IndA es político, mentiroso y va al infierno; los otros dos no tienen ninguna de esas propiedades» ) es un modelo de las sentencias. En efecto, para la asignación A(x) = IndA las dos sentencias se satisfacen, puesto que se satisfacen sus antecedentes (pol(A) y men(A)) y sus consecuentes (men(A) e inf (A)); para la asignación A(x) = IndB y para la asignación A(x) = IndC también se satisfacen, puesto ni los antecedentes ni los consecuentes se satisfacen.

La interpretación I2 tal que:

I2(pol) = {IndA}

I2(men) = {IndA,IndB}

I2(inf ) = {IndA,IndB,IndC}

(«IndA es político, mentiroso y va al infierno; IndB no es político, pero es mentiroso y va al infierno; IndC no es político ni mentiroso, pero va al infierno» ) también es un modelo: para A(x) = IndA se satisfacen antecedentes y consecuentes de f y y (luego ambas se satisfacen); para A(x) = IndB no se satisface el antecedente de f (luego f se satisface) y se satisfacen el antecedente y el consecuente de y (luego y se satisface); para A(x) = IndC no se satisfacen los antecedentes (luego f y y se satisfacen).

Sin embargo, la interpretación I3 tal que:

I3(pol) = {IndA}

I3(men) = {IndA}

I3(inf ) = P

(«sólo el individuo A es político, sólo él es mentiroso, y nadie va al infierno» ; «P» es la relación vacía) no es un modelo: para A(x) = IndA, f se satisface, pero no y, porque su antecedente se satisface y no su consecuente.

Tampoco es un modelo la interpretación I4 tal que:

I4(pol) = {IndA}

I4(men) = P

I4(inf ) = P

ya que en este caso se satisface y pero no f.

Se puede decir que las sentencias condicionales cerradas definen mundos posibles: I1 e I2 son dos de los modelos de f y y, o mundos definidos por f y y.

Supongamos que a f y y añadimos

x: pol(A)

(un «hecho» , conocimiento factual). I1 e I2 siguen siendo modelos de {f,y,x}, pero I1 es el modelo mínimo. Un modelo es mínimo si ningún subconjunto de él es un modelo. Si no hubiésemos añadido x, el modelo mínimo sería I0 tal que I0(pol) = I0(men) = I0(inf ) = P.

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